Question

7．如图，在三棱锥A-BCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=$\sqrt{2}$．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求三棱锥A-BCD体积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明AO⊥BD，CO⊥BD，AO⊥OC，利用直线与平面垂直的判定定理证明AO⊥平面BCD．
（2）求出三棱锥A-BCD的高，底面面积，即可求解三棱锥A-BCD体积．

解答 （1）证明：连接OC，∵BO=DO，AB=AD∴AO⊥BD-----------（1分）
∵BO=DO，BC=CD∴CO⊥BD-------------（2分）
在△AOC中，由已知可得：$AO=1，CO=\sqrt{3}$，而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²∴∠AOC=90°，即AO⊥OC-------（4分）
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD----------（5分）．
（2）解：由（1）可知三棱锥A-BCD的高为AO=1，底面面积为：S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$．
三棱锥A-BCD体积为：$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．