Question

19．设向量$\overrightarrow{OA}$=（a，cos2x），$\overrightarrow{OB}$=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OA}}\\{\;}\end{array}|$•$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OB}}\\{\;}\end{array}|$cos∠AOB
（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（$\frac{π}{4}$，2）时，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin²x=sin（$\frac{π}{4}$+α）•sin（$\frac{π}{4}$-α）+$\frac{1-cos2α}{2}$时，求△OAB的面积；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=a（1+sin2x）+cos2x，代点可得a值；
（2）由三角函数公式化简可得sin²x=$\frac{1}{2}$，由x的范围可得x值，可得$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$的坐标，由夹角公式可得∠AOB的余弦值，进而可得正弦值，由三角形的面积公式可得；
（3）可得h（x）=f（x+t）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+2t+$\frac{π}{4}$），由偶函数可得2t+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，结合t的范围可得t值．

解答 解：（1）由题意可得f（x）=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OA}}\\{\;}\end{array}|$•$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OB}}\\{\;}\end{array}|$cos∠AOB
=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=a（1+sin2x）+cos2x
∵图象经过点（$\frac{π}{4}$，2），
∴a（1+sin$\frac{π}{2}$）+cos$\frac{π}{2}$=2a=2，
∴a=1；
（2）∵sin²x=sin（$\frac{π}{4}$+α）•sin（$\frac{π}{4}$-α）+$\frac{1-cos2α}{2}$，
∴sin²x=sin（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{π}{4}$+α）+$\frac{1-cos2α}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+2α）+$\frac{1-cos2α}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2α+$\frac{1-cos2α}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵x为锐角，∴x=$\frac{π}{4}$，
∴$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（2，1），
∴cos∠AOB=$\frac{2}{1×\sqrt{5}}$，∴sin∠AOB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$；
（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴h（x）=f（x+t）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+2t+$\frac{π}{4}$），
∵h（x）是偶函数，∴2t+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
∴t=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
又∵0＜t＜π，∴t=$\frac{π}{8}$或$\frac{5π}{8}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．