题目内容

19.设向量$\overrightarrow{OA}$=(a,cos2x),$\overrightarrow{OB}$=(1+sin2x,1),x∈R,函数f(x)=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OA}}\\{\;}\end{array}|$•$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OB}}\\{\;}\end{array}|$cos∠AOB
(Ⅰ)当y=f(x)的图象经过点($\frac{π}{4}$,2)时,求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若x为锐角,当sin2x=sin($\frac{π}{4}$+α)•sin($\frac{π}{4}$-α)+$\frac{1-cos2α}{2}$时,求△OAB的面积;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,记函数h(x)=f(x+t)(其中实数t为常数,且0<t<π).若h(x)是偶函数,求t的值.

分析 (1)由题意可得f(x)=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=a(1+sin2x)+cos2x,代点可得a值;
(2)由三角函数公式化简可得sin2x=$\frac{1}{2}$,由x的范围可得x值,可得$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$的坐标,由夹角公式可得∠AOB的余弦值,进而可得正弦值,由三角形的面积公式可得;
(3)可得h(x)=f(x+t)=1+$\sqrt{2}$sin(2x+2t+$\frac{π}{4}$),由偶函数可得2t+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$,结合t的范围可得t值.

解答 解:(1)由题意可得f(x)=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OA}}\\{\;}\end{array}|$•$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OB}}\\{\;}\end{array}|$cos∠AOB
=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=a(1+sin2x)+cos2x
∵图象经过点($\frac{π}{4}$,2),
∴a(1+sin$\frac{π}{2}$)+cos$\frac{π}{2}$=2a=2,
∴a=1;
(2)∵sin2x=sin($\frac{π}{4}$+α)•sin($\frac{π}{4}$-α)+$\frac{1-cos2α}{2}$,
∴sin2x=sin($\frac{π}{4}$+α)cos($\frac{π}{4}$+α)+$\frac{1-cos2α}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin($\frac{π}{2}$+2α)+$\frac{1-cos2α}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos2α+$\frac{1-cos2α}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∵x为锐角,∴x=$\frac{π}{4}$,
∴$\overrightarrow{OA}$=(1,0),$\overrightarrow{OB}$=(2,1),
∴cos∠AOB=$\frac{2}{1×\sqrt{5}}$,∴sin∠AOB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$,
∴△OAB的面积S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$;
(3)可得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+$\sqrt{2}$sin(2x+$\frac{π}{4}$),
∴h(x)=f(x+t)=1+$\sqrt{2}$sin(2x+2t+$\frac{π}{4}$),
∵h(x)是偶函数,∴2t+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$,
∴t=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$,k∈Z,
又∵0<t<π,∴t=$\frac{π}{8}$或$\frac{5π}{8}$.

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及向量的运算和三角形的面积公式,属中档题.

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