题目内容

11.定义在区间[a,b]上的函数f(x)=$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx的值域是[-$\frac{1}{2}$,1],则b-a的最大值是$\frac{4π}{3}$.

分析 由题意根据f(x)=sin(x-$\frac{π}{3}$)的值域是[-$\frac{1}{2}$,1],求得x-$\frac{π}{3}$的最大范围为[2kπ-$\frac{π}{6}$,2kπ+$\frac{7π}{6}$],k∈z,可得x的最大范围,从而求得b-a的最大值.

解答 解:定义在区间[a,b]上的函数f(x)=$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=sin(x-$\frac{π}{3}$)的值域是[-$\frac{1}{2}$,1],
则x-$\frac{π}{3}$的最大范围为[2kπ-$\frac{π}{6}$,2kπ+$\frac{7π}{6}$],k∈z,可得x的最大范围为[2kπ-$\frac{π}{2}$,2kπ+$\frac{5π}{6}$],k∈z,
故b-a的最大值为$\frac{5π}{6}$-(-$\frac{π}{2}$)=$\frac{4π}{3}$,
故答案为:$\frac{4π}{3}$.

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,求得x-$\frac{π}{3}$的最大范围为[2kπ-$\frac{π}{6}$,2kπ+$\frac{7π}{6}$],k∈z,是解题的关键,属于基础题.

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