题目内容

10．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-3y≥0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$．则x+3y的最大值是6．

分析 作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合，进行求最值即可．

解答 解：设z=x+3y得$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$由图象可知当直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$经过点A时，直线$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$的截距最大，
此时z也最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x-3y=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即A（3，1），
代入目标函数z=x+3y，得z=3+3=6．
故z=x+3y的最大值为6．
故答案为：6

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

练习册系列答案
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20．下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”的是（　　）
A．f（x）=$\frac{1}{x}$B．f（x）=x+$\frac{1}{x}$C．f（x）=（x-1）2D．f（x）=ln（x+1）
1．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明，其中A、B、C、D在同一平面内．现测得CD长为100米，∠ADN=105°，∠BDM=30°，∠ACN=45°，∠BCM=60°．
（1）求△BCD的面积；
（2）求船AB的长．
18．在曲线y=x3上切线的斜率为3的点是（　　）
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5．在等比数列{an}中，若a5=8，a8=1，则a1=128．
15．在四边形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，CD=2，∠BAD=135°，∠BCD=60°，∠ADB=30°．
（1）求BC边的长；
（2）求∠ABC的大小．
2．已知i为虚数单位，若复数z=$\sqrt{a}$+2i（a≥0）的模等于3，则a的值为5．
19．设向量$\overrightarrow{OA}$=（a，cos2x），$\overrightarrow{OB}$=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OA}}\\{\;}\end{array}|$•$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OB}}\\{\;}\end{array}|$cos∠AOB
（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（$\frac{π}{4}$，2）时，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（$\frac{π}{4}$+α）•sin（$\frac{π}{4}$-α）+$\frac{1-cos2α}{2}$时，求△OAB的面积；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．
20．若a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，则$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$的最小值为（　　）
A．$\frac{1}{3}$B．$\frac{\root{3}{2}}{3}$C．$\frac{9}{2}$D．$\frac{1}{9}$

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