Question

【题目】设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B.（﹣1，0）∪（1，+∞）
C.（﹣1，0）∪（0，1）
D.（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：令g（x）= ，
则g′（x）= ，
∵xf′（x）﹣f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
又∵g（﹣x）=﹣g（x），
∴函数g（x）为定义域上的奇函数，g（x）在（﹣∞，0）上为减函数．
又∵g（﹣1）=0，
∴g（1）=0，
∴不等式f（x）＞0xg（x）＞0，
∴x＞0，g（x）＞0或x＜0，g（x）＜0，
∴0＜x＜1或﹣1＜x＜0，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1），
故选：C．
由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）= 在（0，+∞）上为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）在（﹣∞，0）上为减函数，不等式f（x）＞0等价于xg（x）＞0，分类讨论即可得到答案．