Question

【题目】设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}
（1）求集合A，B；
（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），

B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]

（2）解：集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣ }，

∵B∪C=C，

∴BC，

∴ ，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）

【解析】（1）集合A即函数y=log2（x﹣1）定义域，B即y=﹣x2+2x﹣2，x∈R的值域．（2）先求出集合C，由B∪C=C 可得BC，∴﹣ ＞﹣1，解不等式得到实数a的取值范围．
【考点精析】掌握集合的并集运算和函数的值域是解答本题的根本，需要知道并集的性质：（1）AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，则AB，反之也成立；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．