题目内容
【题目】设集合A={x|y=log2(x﹣1)},B={y|y=﹣x2+2x﹣2,x∈R}
(1)求集合A,B;
(2)若集合C={x|2x+a<0},且满足B∪C=C,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:A={x|y=log2(x﹣1)}={x|(x﹣1)>0}=(1,+∞),
B={y|y=﹣x2+2x﹣2,x∈R}={y|y=﹣(x﹣1)2﹣1,x∈R}=(﹣∞,﹣1]
(2)解:集合C={x|2x+a<0}={x|x<﹣ },
∵B∪C=C,
∴BC,
∴ ,∴实数a的取值范围(﹣∞,2)
【解析】(1)集合A即函数y=log2(x﹣1)定义域,B即y=﹣x2+2x﹣2,x∈R的值域.(2)先求出集合C,由B∪C=C 可得BC,∴﹣ >﹣1,解不等式得到实数a的取值范围.
【考点精析】掌握集合的并集运算和函数的值域是解答本题的根本,需要知道并集的性质:(1)AA∪B,B
A∪B,A∪A=A,A∪
=A,A∪B=B∪A;(2)若A∪B=B,则A
B,反之也成立;求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的.

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