Question

【题目】如图，在正方体中， 分别是线段的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求直线与平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：方法一：以为原点，直线， ， 为，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，可求两异面直线所成角，需要注意异面直线所成角范围是。线面角只需求出直线的方向向量与平面的法向量，利用公式可求解，注意线面角范围。方法二：异面直线所成角另一种方法就是通过平移，把两异面直平移到同一平面。作于，联结，有∥，故异面直线与所成的角就是（或其补角）．平面∥平面，故直线与平面所成角的大小就是直线与平面所成角．注意到平面，即平面，所以直线与平面所成角的大小即为．

试题解析：（1）方法一：设正方体棱长为，以为原点，直线， ， 为，，轴，建立空间直角坐标系，则， ， ， ，故， ， ， ，

设异面直线与所成角的大小为，向量与所成角为，则 ，注意到，故，即异面直线与所成角的大小为．

（2）由（1）可知，平面的一个法向量是，设直线与平面所成角的大小是，向量与所成角为，则

又， ，即直线与平面所成角的大小为

方法二：设正方体棱长为．

（1）在面内，作于，联结．因为正方体

，所以∥；在面内，有∥，故异面直线与所成的角就是（或其补角）．

由已知及作图可知， 为的中点，于是，在中，易得，

，故， ，

又，所以，从而异面直线与所成角的大小为．

（2）因为正方体，所以平面∥平面，故直线与平面所成角的大小就是直线与平面所成角．注意到平面，即平面，所以直线与平面所成角的大小即为．

在中，易得，故　，

又，故，即直线与平面所成角的大小为．

点睛:对于长方体中求线线角，线面角的问题，规则图形用空间向量更容易解决。线线角的普通方法常用平移到同一个平面。线面角也是通过平移形成直线与平面相交，再在三角形中计算。