Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面， 分别为棱的中点.

（1）求证： 平面；

（2）（文科）求三棱锥的体积；

（理科）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（文） （理）

【解析】试题分析：（1）取中点,连结，由三角形中位线定理可得且，再由已知可得且，从而得到是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可得面；（2）取中点，连结，由面面垂直的性质可得面，且，求出到面距离，然后利用等积法求得三棱锥的体积；（3）连交于，可得，得到，进一步证得，可得是二面角的平面角，然后求解直角三角形可得二面角的正切值.

试题解析：

（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，

∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，

又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，

又EF⊥面PAD，AG⊥面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）（文）解：取AD中点O，连结PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，

又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，

故；

（理）连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，

∴∠MEB=∠AOB，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．

连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，

即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，

在Rt△EBC中，，∴，

∴，即二面角P-EC-D的正切值为．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、二面角的求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.