题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数存在与直线
平行的切线,求实数
的取值范围;
(2)设,若
有极大值点
,求证:
.
【答案】(1); (2)详见解析.
【解析】试题分析:
(1)本题考查导数的几何意义,求出导函数,由题意方程
在
上有实根,利用二次方程根的分布知识可求得
的范围;
(2)由题意可知是
的两根,从而有
,分析知极大值点
满足
,于是
都可用
表示,也即不等式
中三个参数可化为关于一个参数
的不等式,这样下面可利用导数研究相应函数的性质证明出题设不等式.注意范围
.
解析:
(1)因为,因为函数
存在与直线
平行的切线,所以
在
上有解,即
在
上有解,也即
在
上有解,所以
,得
,故所求实数
的取值范围是
.
(2)因为,因为
,
①当时,
单调递增无极值点,不符合题意.
②当或
时,令
,设
的两根为
和
,因为
为函数
的极大值点,所以
,又
,所以
,所以
,则
,要证明
,只需要证明
因为
,
,令
,
,所以
,记
,
,则
,当
时,
,当
时,
,所以
,所以
,所以
在
上单调递减,所以
,原题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目