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【题目】【2016高考山东理数】平面直角坐标系中,椭圆C: 的离心率是,抛物线E:的焦点FC的一个顶点.

I)求椭圆C的方程;

II)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

i)求证:点M在定直线上;

ii)直线与y轴交于点G,记的面积为的面积为,求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.

【答案】(;()(i)见解析;(ii的最大值为,此时点的坐标为

【解析】

试题分析:()根据椭圆的离心率和焦点求方程;()(i)由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立,进而判断点M在定直线上;(ii)分别列出面积的表达式,根据二次函数求最值和此时点P的坐标.

试题解析:

)由题意知,可得:.

因为抛物线的焦点为,所以

所以椭圆C的方程为.

)(i)设,由可得

所以直线的斜率为,因此直线的方程为,即.

,联立方程

,得

因此,

将其代入

因为,所以直线方程为.

联立方程,得点的纵坐标为

即点在定直线上.

(ii)由(i)知直线方程为

,所以

所以

,所以

,则

,即时,取得最大值,此时,满足

所以点的坐标为,因此的最大值为,此时点的坐标为.

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