题目内容
【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)当时,求证:对任意的.
【答案】(1)在上是单调递减的函数;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)求导,根据导函数的取值情况分析的单调性;(2)令,求导,分析其单调性,进而研究其取值情况,问题等价于证明即可得证..
试题解析:(1)当时, , ,
,∵当时, ,∴,∴在上是单调递减的函数;(2)设, , ,令, 则,当时, ,有,∴在上是减函数,即在上是减函数,
又∵, ,∴存在唯一的,使得, ∴当时, , 在区间单调递增;
当时, , 在区间单调递减,因此在区间上
,
∵,∴,将其代入上式得
,
令, ,则,即有, ,
∵的对称轴,∴函数在区间上是增函数,且,
∴,( ),即任意, ,∴,因此任意, .
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