Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=n﹣5an﹣85，n∈N+ ．
（1）求an ．
（2）求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值？并说明理由．（参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=n﹣5an﹣85，∴当n=1时，S1=1﹣5a1﹣85，

即a1=1﹣5a1﹣85，解得a1=﹣14；

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n﹣5an﹣85）﹣[（n﹣1）﹣5an﹣1﹣85]=﹣5an+5an﹣1+1，

整理得6an=5an﹣1+1，∴6（an﹣1）=5（an﹣1﹣1），

∴ = ．又a1﹣1=﹣15，

∴数列{an﹣1}是以﹣15为首项， 为公比的等比数列．

∴an=﹣15×（ ）n﹣1+1

（2）解：由（1）知，an=﹣15×（ ）n﹣1+1，

代入Sn=n﹣5an﹣85得，Sn=n﹣5[﹣15×（ ）n﹣1+1]﹣85

=n+75×（ ）n﹣1﹣90．

设Sk为最小值，则 ，即有 ，

即 ，即 ，可得 ，

即 ≤k≤ +1，又 = = = ，

lg2≈0.3，lg3≈0.48，∴ ≈14.75．

∴14.75≤k≤15.75．又∵k∈N+，∴k=15．

即当n=15时，Sn取得最小值

【解析】（1）运用数列的通项与求和的关系：当n=1时，a1=S1 ， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 通过构造数列，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）将（1）的结论代入条件，可得Sn=n+75×（ ）n﹣1﹣90．设Sk为最小值，则 ，运用通项公式，结合对数函数的单调性，解不等式计算即可得到所求k的值．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．