题目内容

9.已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,且椭圆C经过点(0,1).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)椭圆C上的动点P(x0,y0)(x0y0≠0),其中点P在x轴上的射影为点N,点P关于原点O的对称点为点Q,求△PQN面积的最大值.

分析 (Ⅰ)依题得 $\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$且b=1,∴a2=4,求得椭圆的标准方程=.
(Ⅱ)依题得,P(x0,y0),Q(-x0,-y0),N(x0,0),由面积公式求得,再利用均值不等式得到结论.

解答 解:(Ⅰ)解:依题得 $\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$且b=1,∴a2=4,…(4分)
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…(5分)
(Ⅱ)依题得,P(x0,y0),Q(-x0,-y0),N(x0,0),…(6分)
又因为${S_{△PQN}}={S_{△PON}}+{S_{△ONQ}}=\frac{1}{2}|{ON}||{{y_p}-{y_Q}}|=|{{x_0}{y_0}}|$…(9分)
又∵$1=\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2≥2\sqrt{\frac{{{x_0}^2}}{4}•{y_0}^2}=|{{x_0}•{y_0}}|$…(12分)
即|x0•y0|≤1当且仅当$|{x_0}|=\sqrt{2}$,$|{y_0}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时等号成立∴△PQN的面积最大值为1…(14分)

点评 本题主要考查椭圆中得三角形面积最值问题,属于常考题型,中档题型.

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