题目内容
4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，长轴长为6．（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
分析 （I）通过2a=6、$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，计算即得结论；
（Ⅱ）（i）通过设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），将k1、k2用此两点坐标表示，寻求这两点坐标间的关系即可；（ii）利用S△OMN=$\frac{1}{2}$|OM|•|ON|及基本不等式计算即得结论．
解答 解：（I）由题可知：2a=6，即a=3，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴b=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（-x1，-y1），
∵kAB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+9k2）x2+18mkx+9m2-9=0，
由韦达定理可知：x1+x2=-$\frac{18mk}{1+9{k}^{2}}$，
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=$\frac{2m}{1+9{k}^{2}}$，
由题可知：x1≠-x2，∴k1=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{9k}$=$\frac{{y}_{1}}{9{x}_{1}}$，
∴直线BD的方程为：y+y1=$\frac{{y}_{1}}{9{x}_{1}}$（x+x1），
令y=0，得x=8x1，即M（8x1，0），
∴k2=-$\frac{{y}_{1}}{7{x}_{1}}$，∴k1=-$\frac{7}{9}$k2，
即存在常数λ=-$\frac{7}{9}$使得k1=λk2；
（ii）直线BD的方程为：y+y1=$\frac{{y}_{1}}{9{x}_{1}}$（x+x1），
令x=0可得：y=-$\frac{8}{9}$y1，即M（0，-$\frac{8}{9}$y1），
∴S△OMN=$\frac{1}{2}$•8|x1|•$\frac{8}{9}$|y1|=$\frac{32}{9}$|x1|•|y1|，
∵$\frac{2}{3}$|x1|•|y1|≤$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$+${{y}_{1}}^{2}$=1，
当且仅当$\frac{|{x}_{1}|}{3}$=|y1|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立，此时S△OMN取得最大值$\frac{16}{3}$，
∴△OMN面积的最大值为$\frac{16}{3}$．
点评 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C经过点（0，1）．
如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=2$\sqrt{3}$，BC=2AB，圆心O到AC的距离为$\sqrt{5}$，则点A与圆O上的点的最短距离为$\sqrt{21}-3$．