题目内容
1．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$表示向量$\overrightarrow{DE}$；
（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．
分析 （Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量$\overrightarrow{DE}$．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的数量积求出线面间的正弦值
解答 
解：（Ⅰ）$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{D{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}+（\overrightarrow{A{C}_{1}}-\overrightarrow{A{A}_{1}}）-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{A{A}_{1}}-\overrightarrow{A{B}_{1}}）+（\overrightarrow{A{C}_{1}}-\overrightarrow{A{A}_{1}}）-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=-$\overrightarrow{A{A}_{1}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{B}_{1}}+\overrightarrow{A{C}_{1}}$
（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（$\frac{1}{2}$，0，1），E（0，1，2）
设$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$为平面AB1C1的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$
因为$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（1，0，1），\overrightarrow{A{C}_{1}}=（0，1，1）$则$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，则$\overrightarrow{n}=（1，1，-1）$
因为$\overrightarrow{DE}=（-\frac{1}{2}，1，-\frac{1}{2}）$，则$cos＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$
点评 本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用，属常考题型、中档题．
全优点练单元计划系列答案| A． | ①③ | B． | ②⑤ | C． | ③⑤ | D． | ②④ |
已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C经过点（0，1）．| A． | $\frac{π}{2}$ | B． | π | C． | 2π | D． | 4π |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
| A． | [-$\frac{1}{e}$，0] | B． | [-$\frac{1}{e}$，0） | C． | [-$\frac{1}{e}$，+∞） | D． | [-$\frac{1}{e}$，e） |