题目内容

14.如图,设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P是抛物线上一定点,其坐为(x0,y0)(x0≠0),Q为线段OF的垂直平分线上一点,且点Q到抛物线的准线l的距离为$\frac{3}{2}$.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB,分别与抛物线交于点A、B,如图示,若直线AB的斜率为定值-$\frac{2}{{y}_{0}}$,求证:直线PA、PB的倾斜角互补.

分析 (1)∵抛物线的方程为y2=2px,∴得到直线l的方程,再利用点Q在线段OF的垂直平分线上的条件得出结论.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得,$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{2}{{y}_{0}}$⇒y1+y2=-2y0,因为点A,B,P均在抛物线y2=4x上,所以有${x}_{1}=\frac{{y}_{1}^{2}}{4},{x}_{2}=\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$,${x}_{0}=\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$,把它们分别代入即可.

解答 解:(1)∵抛物线的方程为y2=2px,∴直线l的方程为$x=-\frac{p}{2}$…(1分)
又∵点Q在线段OF的垂直平分线上,且F为抛物线y2=2px的焦点,
∴点Q的横坐标为$\frac{p}{4}$.…(2分)
又∵点Q到抛物线的准线l的距离为$\frac{3}{2}$,∴$\frac{3}{4}p=\frac{3}{2}$,即p=2.
∴抛物线的方程为y2=4x.…(5分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则${k}_{AB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
又因为点A,B均在抛物线y2=4x上,所以有${x}_{1}=\frac{{y}_{1}^{2}}{4},{x}_{2}=\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$,
所以${k}_{AB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$,
故由已知得,$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{2}{{y}_{0}}$⇒y1+y2=-2y0(*)…(7分)
又由已知易知x1≠x0,x2≠x0,所以有${k}_{PA}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}},{k}_{PB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$
从而有${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}+\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$,(**)…(8分)
又因为点A,B,P均在抛物线y2=4x上,所以有${x}_{1}=\frac{{y}_{1}^{2}}{4},{x}_{2}=\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$,${x}_{0}=\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$,把它们分别代入(**)式,并化简可得:
${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}+\frac{4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=$\frac{4({y}_{2}+{y}_{0})+4({y}_{1}+{y}_{0})}{({y}_{1}+{y}_{0})({y}_{2}+{y}_{0})}=\frac{4({y}_{1}+{y}_{2}+2{y}_{0})}{({y}_{1}+{y}_{0})({y}_{2}+{y}_{0})}$…(10分)
把(*)代入,可得${k}_{PA}+{k}_{PB}=\frac{4({y}_{1}+{y}_{2}+2{y}_{0})}{({y}_{1}+{y}_{0})({y}_{2}+{y}_{0})}=0$
故直线PA、PB的倾斜角互补…(12分)

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题,计算量很大,属于难题,高考中常作压轴题.

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