题目内容
17．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．
（1）求⊙P的半径（用θ表示）；（2）求⊙Q的半径的最大值．
分析 （1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ．可得|OP|=80-rP，由此求得rP的解析式．
（2）由|PQ|=rP+rQ，求得rQ=$\frac{80sinθ（1-sinθ）}{{（1+sinθ）}^{2}}$ （0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得rQ=80（-1-$\frac{2}{{t}^{2}}$+$\frac{3}{t}$），再利用二次函数的性质求得它的最大值．
解答 
解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，
记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ．
∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80-rP，
∴$\frac{{r}_{p}}{sinθ}$+rP=80，∴rP=$\frac{80sinθ}{1+sinθ}$ （0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
（2）∵|PQ|=rP+rQ，∴|OP|-|OQ|=$\frac{{r}_{p}}{sinθ}$-$\frac{{r}_{Q}}{sinθ}$=rP+rQ，
∴rQ=$\frac{80sinθ（1-sinθ）}{{（1+sinθ）}^{2}}$ （0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
令t=1+sinθ∈（1，2），∴rQ=80•$\frac{（t-1）（2-t）}{{t}^{2}}$=80（-1-$\frac{2}{{t}^{2}}$+$\frac{3}{t}$），
令m=$\frac{1}{t}$∈（$\frac{1}{2}$，1），rQ=80（-2m2+3m-1），∴m=$\frac{3}{4}$时，有最大值10．
点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于中档题．
亮点激活精编提优100分大试卷系列答案| A． | ①③ | B． | ②⑤ | C． | ③⑤ | D． | ②④ |
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 1 |
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则A=2，ω=2，F（$\frac{π}{3}$）=1．
已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C经过点（0，1）．