题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面是正方形平面且.
(1)求证:;
(2)求异面直线与所成角的大小;
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)45°;(3)120°
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,计算0即可证明垂直关系;
(2)利用向量求出,即可得到异面直线所成角;
(3)求出两个半平面的法向量,根据法向量所成角的大小求二面角的大小.
(1)由题:底面是正方形,平面,
所以两两互相垂直,且
以D为原点,分别为轴正方向建立空间直角坐标系,设=1,
所以
,所以,即;
(2),
所以夹角为135°,即异面直线与所成角45°
(3)设平面的法向量,
则,取,则,
设平面的法向量,
则,取,则,
所以,
即法向量所成角为60°
所以二面角的大小为120°
【题目】某冰糖橙,甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称。该橙按照等级可分为四类:珍品、特级、优级和一级(每箱5kg).某采购商打算采购一批橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表:
等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
箱数 | 40 | 30 | 10 | 20 |
售价(元/kg) | 36 | 30 | 24 | 18 |
(1)试计算样本中的100箱不同等级橙子的平均价格;
(2)按照分层抽样的方法,从这100个样本中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数;
(3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率
【题目】某冰糖橙,甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称。该橙按照等级可分为四类:珍品、特级、优级和一级(每箱有5kg),某采购商打算订购一批橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表:
等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
箱数 | 40 | 30 | 10 | 20 |
(1)若将频率改为概率,从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱,求恰好抽到2箱是一级品的概率:
(2)利用样本估计总体,庄园老板提出两种购销方案供采购商参考:
方案一:不分等级卖出,价格为27元/kg;
方案二:分等级卖出,分等级的橙子价格如下:
等级 | 珍品 | 特级 | 优级 | 一级 |
售价(元/kg) | 36 | 30 | 24 | 18 |
从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案?
(3)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱,再从抽取的10箱中随机抽取3箱,X表示抽取的是珍品等级,求x的分布列及数学期望E(X).
【题目】“大众创业,万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召,大力研发新产品,为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据(=1,2,…,6),如表所示:
试销单价(元) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量(件) | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知.
(Ⅰ)求出的值;
(Ⅱ)已知变量具有线性相关关系,求产品销量(件)关于试销单价(元)的线性回归方程;
(参考公式:线性回归方程中,的最小二乘估计分别为,)