题目内容
【题目】已知函数 (其中e是自然对数的底数,k∈R).
(1)讨论函数的单调性;
(2)当函数有两个零点
时,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:
本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。(1)求导数后,根据导函数的符号判断出函数的单调性。(2)根据题意将证明的问题转化为证明
,即证
,构造函数
,
利用函数的单调性证明即可。
试题解析:
(1)解:∵
∴。
①当时,令
,解得
,
∴当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增。
②当时,
恒成立,
∴函数在R上单调递增.
综上,当时,
在
上单调递减,在
上单调递增。
当时,
在R上单调递增.
(2)证明:当时,由(1)知函数
单调递增,不存在两个零点。
所以。
设函数的两个零点为
,
则,
设,
解得,
所以,
要证,
只需证,
设
设单调递增,
所以,
所以在区间
上单调递增,
所以,
故.
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