题目内容
【题目】已知数列中,
,且点
在直线
上;
(1)若数列满足:
,
是数列
的前
项和,求
.
(2)是否存在同时满足以下两个条件的三角形?如果存在,求出相应的三角形的三边以及,
的值,如果不存在,说明理由.
条件1:三边长是数列中的连续三项,其中
;
条件2:最小角是最大角的一半.
【答案】(1)(2)存在,三边长分别为:
,
,
;
或
或
【解析】
(1)将点坐标代入直线方程,可知数列为等差数列,即可求得数列
的通项公式.将数列
的通项公式代入即可求得数列
的通项公式,即可由裂项求和法求得数列
的前
项和
.
(2)根据题意,假设存在这样的三角形.设出三角形的三条边,利用换元法令,用
表示出三条边.由
结合正弦定理与余弦定理,即可解得
的值,进而求得
的值.再反代回原式检验即可.
(1)由条件可知,则
是公差为
,首项为
的等差数列,
则,
则,
所以
,
化简得.
(2)假设满足条件的三角形存在,设其三边长分别为,
,
,
记,
则三边长分别为,
,
,又记这三边对应的三个角分别为
,
,
,
则由题有,则在
中,由正弦定理可知:
,
即,
又在中,由余弦定理知
,
整理可得,解得
,
则,又
,则
,
的取值分别为
,
或
,
三角形的三边长分别为:,
,
.
经检验,三边长分别为,
,
的三角形满足题中条件,故满足条件的三角形存在,
其中,,
的取值分别为
,
或
,
三角形的三边长分别为,
,
.
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