题目内容
【题目】已知定义域为的函数
是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数的单调性,并用定义证明;
(3)当时,
恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1),
;(2)单调递减,见解析;(3)
【解析】
(1)根据得到
,根据
计算得到
,得到答案.
(2)化简得到,
,计算
,得到是减函数.
(3)化简得到,参数分离
,求函数
的最小值得到答案.
(1)因为在定义域R上是奇函数.所以
,
即,所以
.又由
,即
,
所以,检验知,当
,
时,原函数是奇函数.
(2)在
上单调递减.证明:由(1)知
,
任取,设
,则
,
因为函数在
上是增函数,且
,所以
,又
,
所以,即
,
所以函数在R上单调递减.
(3)因为是奇函数,从而不等式
等价于
,
因为在
上是减函数,由上式推得
,
即对一切有
恒成立,设
,
令,
则有,
,所以
,
所以,即
的取值范围为
.
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