题目内容
【题目】已知函数(
且
).
(1)判断函数的奇偶性并说明理由;
(2)是否存在实数,使得当
的定义域为
时,值域为
?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;
(2)存在;.
【解析】
(1)由,可求出
的定义域,利用定义法能求出
在定义域上为奇函数;
(2)把的定义域为
时,值域为
转化为
在
单调递减,进一步得到
在
上有两个互异实根;令
,转化为关于
的不等式组求解.
(1) 由,可得
或
,
所以的定义域为
;
因为,
且;
所以在定义域上为奇函数.
(2)假设存在这样的实数,使得当
的定义域为
时,值域为
;
由 ,又
,
,
所以 .
又因为,
所以在
单调递减,
所以在
单调递减,
所以 ,
故,
是方程
的两个实数根,
即在
上有两个互异实根;
于是问题转化为关于的方程
在
上有两个不同的实数根,
令,
,
则有 ,解得
.
故存在实数,使得当
的定义域为
时,值域为
.
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