Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{kx}}{{4}^{x}+1}$，g（x）=$\frac{3-m}{m•{2}^{x}+2\sqrt{2}}$，且f（x）为偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若函数f（x）与g（x）的图象恰好有一个公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，化简可得$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=$\frac{3-m}{m•{2}^{x}+2\sqrt{2}}$有且只有一个实根，令t=2^x＞0，则转化成方程$（2m-3）t+2\sqrt{2}t+m-3=0$有且只有一个正根，讨论m=$\frac{3}{2}$，以及△=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数m的取值范围

解答 解：（1）由f（x）=f（-x）得到：f（-1）=f（1）⇒$\frac{{2}^{k}}{{4}^{\;}+1}$=$\frac{{2}^{-k}}{\frac{1}{4}+1}$，
解得：k=1，
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=$\frac{3-m}{m•{2}^{x}+2\sqrt{2}}$有且只有一个实根
化简得：方程$（2m-3）{4}^{x}+2\sqrt{2}•{2}^{x}+m-3=0$有且只有一个实根
令t=2^x＞0，则方程$（2m-3）t+2\sqrt{2}t+m-3=0$有一个正根
①m=$\frac{3}{2}$⇒t=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，符合题意；
②△=0⇒m=1或$\frac{7}{2}$，
若m=1⇒t=$\sqrt{2}$，符合题意；若m=$\frac{7}{2}$⇒t=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，不符合题意，
③若一个正根和一个负根，则△＞0且t₁•t₂＜0，
即1＜m＜$\frac{7}{2}$，且$\frac{3}{2}$＜m＜3，
即$\frac{3}{2}$＜m＜3时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{m|$\frac{3}{2}$≤m＜3或m=1}

点评 本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．