题目内容

过椭圆
x2
2
+y2=1
的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求
AO
AF1
的范围;
(2)若
OA
OB
,求直线l的方程.
(1)∵椭圆
x2
2
+y2=1

a=
2
,b=1,c=1

∴F1(-1,0),…(1分)
设A(x1,y1),则
AO
AF1
=
x21
+x1+
y21
…(3分)
x12
2
+y12=1

AO
AF1
=
x21
+x1+
y21
=
1
2
x21
+x1+1=
1
2
(x1+1)2+
1
2
…(5分)
x1∈[-
2
2
]

AO
AF1
∈[
1
2
2
+2]
,…(6分)
(2)设A、B两点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2
①当l平行于y轴时,点A(-1,
2
2
)
B(-1,-
2
2
)
,此时
OA
OB
=
1
2
≠0
…(8分)
②当l不平行于y轴时,设直线l的斜率为k,则直线l方程为y=k(x+1),
y=k(x+1)
x2
2
+y2=1
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0…(9分)
x1+x2=-
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2
…(11分)
OA
OB
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2

=(1+k2)•
2k2-2
1+2k2
-k2
4k2
1+2k2
+k2=0

解得k2=2,
k=±
2
…(13分)
故所求的直线方程为y=±
2
(x+1)
…(14分)
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