题目内容
如图，
为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若
=λ1
，
=λ2
，求证：λ1+λ2为定值．
 |
| ADB |
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若
| EM |
| MB |
| EN |
| NB |
（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变、且点Q在曲线C上，
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2
=2
＞|AB|=4、
∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2
，∴a=
，c=2，b=1、
∴曲线C的方程为
+y2=1（5分）
（Ⅱ）：设M，N，E点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），E（0，y0），
又易知B点的坐标为（2，0）、且点B在椭圆C内，故过点B的直线l必与椭圆C相交、
∵
=λ1
，∴（x1，y1-y0）=λ1（2-x1，-y1）、
∴x1=
，y1=
、（7分）
将M点坐标代入到椭圆方程中得：
(
)2+(
)2=1，
去分母整理，得λ12+10λ1+5-5y02=0、（10分）
同理，由
=λ2
可得：λ22+10λ2+5-5y02=0、
∴λ1，λ2是方程x2+10x+5-5y02=0的两个根，
∴λ1+λ2=-10、（12分）
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变、且点Q在曲线C上，
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2
| 22+12 |
| 5 |
∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2
| 5 |
| 5 |
∴曲线C的方程为
| x2 |
| 5 |
（Ⅱ）：设M，N，E点的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），E（0，y0），
又易知B点的坐标为（2，0）、且点B在椭圆C内，故过点B的直线l必与椭圆C相交、
∵
| EM |
| MB |
∴x1=
| 2λ1 |
| 1+λ1 |
| y0 |
| 1+λ1 |
将M点坐标代入到椭圆方程中得：
| 1 |
| 5 |
| 2λ1 |
| 1+λ1 |
| y0 |
| 1+λ1 |
去分母整理，得λ12+10λ1+5-5y02=0、（10分）
同理，由
| EN |
| NB |
∴λ1，λ2是方程x2+10x+5-5y02=0的两个根，
∴λ1+λ2=-10、（12分）
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