题目内容
【题目】已知圆C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆C与抛物线E的准线交于M、N两点,△MNF的面积为p,其中F是E的焦点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)不过原点O的动直线l交该抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB,设点Q为圆C上任意一动点,求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程.
【答案】(1)y2=4x (2)y=5x﹣20
【解析】
(1)求得圆的圆心和半径,抛物线的焦点和准线方程,由三角形的面积公式和圆的弦长公式,计算可得,可得抛物线的方程;
(2)不过原点的动直线
的方程设为
,
,联立抛物线方程,运用韦达定理和两直线垂直的条件,解方程可得
,即有动直线恒过定点
,结合图象可得直线
时,
到直线
的距离最大,求得直线的斜率,可得所求方程.
解:(1)圆的圆心
,半径为1,
抛物线的准线方程为
,
,
,
由的面积为
,可得
,即
,
可得经过圆心
,可得
.则抛物线的方程为
;
(2)不过原点的动直线
的方程设为
,
,
联立抛物线方程,可得
,
设,
,
,
,可得
,
,
由可得
,即
,即
,解得
,
则动直线的方程为
,恒过定点
,
当直线时,
到直线
的距离最大,
由,可得
到直线
的距离的最大值为
,
此时直线的斜率为
,
直线的斜率为5,可得直线
的方程为
.

练习册系列答案
相关题目