题目内容
【题目】设椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,下顶点为
,椭圆
的离心率是
,
的面积是
.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆
交于
,
两点(异于
点),若直线
与直线
的斜率之和为1,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1); (2)证明见解析,
.
【解析】
(1)根据离心率和的面积是
得到方程组,计算得到答案.
(2)先排除斜率为0时的情况,设,
,联立方程组利用韦达定理得到
,
,根据
化简得到
,代入直线方程得到答案.
(1)由题意可得,解得
,
,则椭圆
的标准方程是
.
(2)当直线的斜率为0时,直线
与直线
关于
轴对称,则直线
与直线
的斜率之和为零,与题设条件矛盾,故直线
的斜率不为0.
设,
,直线
的方程为
联立,整理得
则,
.
因为直线与直线
的斜率之和为1,所以
,
所以,
将,
代入上式,整理得
.
所以,即
,
则直线的方程为
.
故直线恒过定点
.

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