题目内容
【题目】如图,圆与直线
相切于点
,与
正半轴交于点
,与直线
在第一象限的交点为
.点
为圆
上任一点,且满足
,以
为坐标的动点
的轨迹记为曲线
.
(1)求圆的方程及曲线
的方程;
(2)若两条直线和
分别交曲线
于点
和
,求四边形
面积的最大值,并求此时的
的值.
(3)根据曲线的方程,研究曲线
的对称性,并证明曲线
为椭圆.
【答案】(1),
;(2)
时,四边形
的面积最大值为
;(3)见解析.
【解析】
(1)由圆半径为圆心到切线距离得圆半径,从而得圆方程,由表示出
点坐标代入圆
方程可得曲线
的方程.
(2)把方程代入曲线
的方程求得
的坐标,得
,同理可得
,由
得
,应用整体换元法结合基本不等式可求得最值(也可变形为
,求最值);
(3)由曲线的方程可得对称性:关于直线
对称,关于原点对称,这个方程除右边是常数1外,左边是二次式且为和的形式,与我们所学椭圆的方程类似,因此可假设其为椭圆,再根据椭圆的性质求顶点坐标和焦点坐标,根据椭圆定义证明.
解:(1)由题意圆的半径
,
故圆的方程为
.
由得,
,将
代入
得为曲线
的方程.
(2)由
得,
,
所以,同理
.
由题意知 ,所以四边形
的面积
,.
∵ ,∴
.
当且仅当时等号成立,此时
.
∴ 当时,四边形
的面积最大值为
.
(3) 曲线的方程为
,它关于直线
、
和原点对称,
下面证明:
设曲线上任一点的坐标为
,则
,点
关于直线
的对称点为
,显然
,所以点
在曲线
上,故曲线
关于直线
对称,
同理曲线关于直线
和原点对称.
证明:求得和直线
的交点坐标为
,
和直线
的交点坐标为
,
,
,
,
.
在上取点
.
设为曲线
上任一点,则
(因为
)
.
即曲线上任一点
到两定点
的距离之和为定值
.
若点到两定点
的距离之和为定值
,可以求得点
的轨迹方程为
(过程略).
故曲线是椭圆
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
数学成绩 | 60 | 65 | 70 | 75 | 85 | 87 | 90 |
物理成绩 | 70 | 77 | 80 | 85 | 90 | 86 | 93 |
①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求
的分布列和数学期望;
②根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩
的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?
附:线性回归方程,
其中,
.
76 | 83 | 812 | 526 |