题目内容
【题目】已知四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,点
,
分别是
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若与平面
所成角的余弦值等于
,求
的长.
【答案】(1)证明见解析,(2)
【解析】
(1)取的中点
,连接
,
,可得
,
,进而
,
,所以四边形
是平行四边形,再根据线面平行的判定定理即可求证.
(2)取的中点
,根据勾股定理和线面垂直的判定定理可得
平面
,再建立空间直角坐标系,利用空间向量即可求出线面角.
(1)取的中点
,连接
,
,
∵,
分别为
,
的中点,
∴,
,
∵为矩形,∴
,
,
∴四边形是平行四边形,
∴,
平面
,
又∵平面
,∴
平面
.
(2)取的中点
,
∵,∴
,
,
∵平面平面
,平面
平面
,
∴平面
,
建立如图坐标系,
设,则
,
,
,
,
∴,
,
∴平面的法向量
,
,
若与平面
所成角为
,
∴,∴
.
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