题目内容
【题目】已知四棱锥
中，底面
为矩形，平面
平面，
，点
，
分别是
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
与平面
所成角的余弦值等于
，求的长.
【答案】（1）证明见解析，（2）
【解析】
（1）取
的中点
，连接
，
，可得
，
，进而
，
，所以四边形
是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证.
（2）取
的中点
，根据勾股定理和线面垂直的判定定理可得
平面
，再建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出线面角.
（1）取的中点，连接，，
∵
，分别为
，的中点，
∴，，
∵为矩形，∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴
，
平面
，
又∵
平面，∴
平面.
（2）取的中点，
∵
，∴
，
，
∵平面
平面，平面
平面
，
∴平面，
建立如图坐标系，
设
，则
，
，
，
，
∴
，
，
∴平面
的法向量
，
，
若
与平面所成角为
，
∴
，∴.
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