题目内容
【题目】已知函数f(x)=2x-,x∈(0,1].
(1)当a=-1时,求函数y=f(x)的值域;
(2)若函数y=f(x)在x∈(0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.
【答案】(1)[2,+∞)(2)(-∞,-2]
【解析】
(1)当a=-1时,f(x)=2x+,
因为0<x≤1,所以f(x)=2x+≥2
=2
,当且仅当x=
时,等号成立,
所以函数y=f(x)的值域是[2,+∞).
(2)(解法1)设0<x1<x2≤1,
由f(x1)-f(x2)==2(x1-x2)+
=
,
因为函数y=f(x)在x∈(0,1]上是减函数,
所以f(x1)-f(x2)>0恒成立,
所以2x1x2+a<0,即a<-2x1x2在x∈(0,1]上恒成立,
所以a≤-2,即实数a的取值范围是(-∞,-2].
(解法2)由f(x)=2x-,知f′(x)=2+
,
因为函数y=f(x)在x∈(0,1]上是减函数,
所以f′(x)=2+≤0在x∈(0,1]上恒成立,
即a≤-2x2在x∈(0,1]上恒成立,
所以a≤-2,即实数a的取值范围是(-∞,-2].
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