Question

3．设x，y为实数，若4x²+y²=1，则x+y的最大值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，可令2x=cosα，y=sinα，α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域即可得到最大值．

解答 解：x，y为实数，若4x²+y²=1，
则可令2x=cosα，y=sinα，α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
即有x+y=$\frac{1}{2}$cosα+sinα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosα+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinα）
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（α+θ）（θ为第一象限角，tanθ=$\frac{1}{2}$），
当α+θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，sin（α+θ）取得最大值1，
则有x+y的最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查椭圆参数方程的运用，考查三角函数的化简和求值，属于中档题．