题目内容
12．已知各项均为正数的无穷数列{an}满足anan+2=an+12-t2（n∈N*，t为常数）．（1）设{an}是首项为1的等差数列，当t=1时，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an+t}是等比数列，求t的值；
（3）若a2=a1+t，求证：数列{an}为等差数列．
分析 （1）运用等差数列的性质得出1+2d）=（1+d）2-1，d2=1，即d=1．分类求解即可得出通项公式．
（2）根据数列{an+t}是等比数列的定义得出：（an+1+t）2=（an+t）（an+2+t），化简即可得出：t2+2tan+1=t（an+an+2），恒成立，即可求解t的值．
（3）先求解a2=a1+t，a3=a1+2t，a4=a1+3t，猜想得出an=a1+（n-1）t，代入anan+2=an+12-t2（n∈N*，t为常数）．证明等式成立，再运用等差数列定义证明即可．
解答 解：（1）∵anan+2=an+12-t2（n∈N*，t为常数）．
∴a1=1，t=1，a1×a3=a22-1，各项均为正数的无穷数列{an}
（1+2d）=（1+d）2-1，d2=1，即d=1．
当d=1时，an=n，
（2）∵数列{an+t}是等比数列，
∴（an+1+t）2=（an+t）（an+2+t），
展开得出：a2n+1+2tan+1+t2=anan+2+t（an+an+2）+t2，
∵anan+2=an+12-t2（n∈N*，t为常数）．a2n+1=anan+2+t2，
∴代入得出：t2+2tan+1=t（an+an+2），
t=0或t+2an+1=an+an+2，
∴若数列{an+t}是等比数列，实数t=0．
（3）∵anan+2=an+12-t2（n∈N*，t为常数）．
∴a1a3=a22-t2，
∵a2=a1+t，
∴a3=a1+2t，
∵a2a4=a32-t2，
解得：a4=a1+3t，
猜想：an=a1+（n-1）t，
即可得出：an+1=a1+nt，an+2=a1+（n+1）t，
∵anan+2=[a1+（n-1）t][a1+（n+1）t]=a${\;}_{1}^{2}$+2na1t+（n2-1）t2，
an+12-t2=[a1+nt]2-t2=a${\;}_{1}^{2}$+2na1t+（n2-1）t2，
∴anan+2=an+12-t2（n∈N*，t为常数）成立，符合题意．
∴an=a1+（n-1）t，
∵an+1-an=a1+nt-[a1+（n-1）t]=t=常数．
∴数列{an}为公差为t的等差数列．
点评 本题数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，准确灵活运用递推关系式，猜想等思想求解证明，运算量大，属于难题．
