题目内容

18．已知公差为2的等差数列{an}与各项为正且首项为1的等比数列{bn}满足$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$，$\frac{{a}_{2}}{{b}_{3}}$，$\frac{{a}_{4}}{{b}_{5}}$成公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}$}的前n项和Sn．

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵公差为2的等差数列{an}与各项为正且首项为1的等比数列{bn}满足$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$，$\frac{{a}_{2}}{{b}_{3}}$，$\frac{{a}_{4}}{{b}_{5}}$成公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，设等比数列{bn}的公比为q，
∴$\frac{{a}_{2}}{{b}_{3}}$=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$×$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{4}}{{b}_{5}}$=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$，化为$2（{a}_{1}+2）={a}_{1}{q}^{2}$，$4（{a}_{1}+6）={a}_{1}{q}^{4}$，q＞0．
解得a1=2，q=2．
∴an=2+2（n-1）=2n，bn=2n-1．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{2n×2（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}$}的前n项和Sn=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a

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