Question

17．设x，y∈R，z=x+yi，当|z|=1时，求u=|z²-z+1|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由题意设z=cosθ+isinθ，利用复数的乘方、模的定义、及三角公式化简|z²-z+1|，利用二次函数的性质求得最值．

解答 解：∵|z|=1，∴令z=cosθ+isinθ，
∴u=|z²-z+1|=|（cosθ+isinθ）²-（cosθ+isinθ）+1|=|（cos2θ-cosθ+1）+（sin2θ-sinθ）i|
=$\sqrt{（cos2θ-cosθ+1）^{2}+（sin2θ-sinθ）^{2}}$=$\sqrt{（2cosθ-1）^{2}}$=|2cosθ-1|．
∴当cos$θ=\frac{1}{2}$时，u有最小值为0；当cosθ=-1时，u有最大值为3．

点评 本题考查复数的乘方、求复数的模的方法，三角公式及二次函数性质的应用，是基础题．