题目内容
6.已知c>0,设命题P:函数y=logcx为减函数;命题Q:当x∈[$\frac{1}{2}$,2]时,函数f(x)=x+$\frac{1}{x}$>$\frac{1}{c}$恒成立,如果P或Q为真命题,P且Q为假命题,求c的取值范围.分析 由c>0,命题p:函数y=logcx为减函数.可得0<c<1.命题q:当x∈[$\frac{1}{2}$,2]时,函数f(x)>$\frac{1}{c}$恒成立,可得$\frac{1}{c}$<(x+$\frac{1}{x}$)min=2,利用基本不等式即可得出c>$\frac{1}{2}$.由p或q为真命题,p且q为假命题,可得p,q中必然一个真命题一个为假命题.解出即可.
解答 解:由c>0,命题p:函数y=logcx为减函数.
∴0<c<1.
命题q:当x∈[$\frac{1}{2}$,2]时,函数f(x)=x+$\frac{1}{x}$>$\frac{1}{c}$恒成立,可得$\frac{1}{c}$<(x+$\frac{1}{x}$)min=2,
∴$\frac{1}{c}$<2,
又c>0,
∴c>$\frac{1}{2}$.
∵p或q为真命题,p且q为假命题,
∴p,q中必然一个真命题一个为假命题.
①当p真q假时,0<c≤$\frac{1}{2}$,c的取值范围是(0,$\frac{1}{2}$].
②当q真p假时,c≥1,c的取值范围是[1,+∞).
故实数c的取值范围为:(0,$\frac{1}{2}$]∪[1,+∞).
点评 本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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11.某超市统计了最近6个月某种鲜牛奶的进价x与售价y的对应数据(单位:元),如下表.
则$\overline{x}$=6,$\overline{y}$=8.
(1)x12+x22+x32+x42+x52+x62=272;
(2)x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5+x6y6=361;
(3)线性回归方程为y=$\frac{73}{56}$x+$\frac{8}{25}$.
x | 3 | 5 | 2 | 8 | 9 | 12 |
y | 4 | 6 | 3 | 9 | 12 | 14 |
(1)x12+x22+x32+x42+x52+x62=272;
(2)x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5+x6y6=361;
(3)线性回归方程为y=$\frac{73}{56}$x+$\frac{8}{25}$.