Question

8．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．

（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）当三棱锥B-GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据折叠前后的边角关系可知道DE⊥底面ABCE，底面ABCE为正方形，从而得到AC⊥DE，AC⊥BE，根据线面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE，再根据面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）根据已知条件知道三直线EA，EC，ED两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，设EH=x，从而表示出HG=2-x，三棱锥B-GHE的高为AB=2，从而可表示出三棱锥B-GHE的体积V=$\frac{1}{3}[-（x-1）^{2}+1]$，从而看出x=1时V最大，这时G为AD中点．从而可求G点坐标，求出向量$\overrightarrow{BG}$坐标，可设平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$={x，y，z}，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$，设直线BG与平面BCD所成角为θ，而根据sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BG}＞|$求出sinθ．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4；
又AE∥BC交CD于点E；
∴四边形ABCE是边长为2的正方形；
∴AC⊥BE，DE⊥AE；
又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE；
∴DE⊥平面ABCE；
∵AC?平面ABCE，∴AC⊥DE；
又DE∩BE=E；
∴AC⊥平面DBE；
∵AC?平面DAC；
∴平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC；
以E为原点，$\overrightarrow{EA}\;，\;\overrightarrow{EC}\;，\;\overrightarrow{ED}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）；
设EH=x，则GH=DH=2-x（0＜x＜2）；
∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE；
∴${V_{B-GHE}}=\frac{1}{3}{S_{△GHE}}•AB=\frac{1}{3}[\frac{1}{2}x（2-x）]×2$=$\frac{1}{3}（-{x^2}+2x）=\frac{1}{3}[-{（x-1）^2}+1]$；
∵0＜x＜2，∴x=1时，三棱锥B-GHE体积最大，此时，H为ED中点；
∵GH∥AE，∴G也是AD的中点，∴G（1，0，1），$\overrightarrow{BG}=（-1\;，\;-2\;，\;1）$；
设$\overrightarrow n=（x\;，\;y\;，\;z）$是面BCD的法向量；
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=（x\;，\;y\;，\;z）•（-2\;，\;0\;，\;0）=-2x=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=（x\;，\;y\;，\;z）•（0\;，\;2\;，\;-2）=2y-2z=0\end{array}\right.$
令y=1，得$\overrightarrow n=（0\;，\;1\;，\;1）$；
设BG与面BCD所成角为θ；
则$sinθ=|cos＜\overrightarrow{BG}，\overrightarrow{n}＞|=\frac{|\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BG}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴BG与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

点评 考查对折叠前后图形的观察能力，面面垂直的性质定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，棱锥的体积公式，两非零向量垂直的充要条件，平面法向量的概念及求法，直线和平面所成角的概念，直线和平面所成角与直线和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．