Question

3．已知点A（$\frac{3}{2}$，-1）在抛物线C：x²=2py（p＞0）的准线l₁上，过点A作一条斜率为2的直线l₂，点P是抛物线
上的动点，则点P到直线l₁和到直线l₂的距离之和的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 点F作直线l₂的垂线FH，垂足为H，则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P．由抛物线的定义可得，|PF|为点P到直线的l₁距离，又|PH|为点P到直线l₂的距离，所以点P到直线l₁和到直线l₂的距离之和的最小值是F到直线l₂的距离．

解答 解：由题意，抛物线的焦点为F（0，1），则直线l₂的方程为2x-y-4=0，
过点F作直线l₂的垂线FH，垂足为H，则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P．
由抛物线的定义可得，|PF|为点P到直线的l₁距离，
又|PH|为点P到直线l₂的距离，
所以点P到直线l₁和到直线l₂的距离之和的最小值是F到直线l₂的距离d=$\frac{|0-1-4|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
所以点P到直线l₁和到直线l₂的距离之和的最小值是$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．