Question

18．F是双曲线Γ：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右焦点，Γ的右支上一点P到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q满足$\overrightarrow{FP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$，则λ=4．

Answer 1

分析 设P（m，n），m＞0，代入双曲线方程，再由点到直线的距离公式，解方程可得P的坐标，再设Q的坐标，由三点共线斜率相等，可得Q的坐标，再由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求．

解答 解：设P（m，n），m＞0，
则m²-$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，
双曲线的渐近线方程为y=±2x，
设P到直线y=2x的距离为2，
即有$\frac{|2m-n|}{\sqrt{5}}$=2，
由于P在直线的下方，
则2m-n=2$\sqrt{5}$，
解得m=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，n=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
即P（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
设Q（s，-2s），由F（$\sqrt{5}$，0），
由于F，P，Q共线，可得
则k_FP=k_FQ，
即为$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{2s}{\sqrt{5}-s}$，
解得s=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即有Q（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，-$\sqrt{5}$），
$\overrightarrow{FP}$=（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），$\overrightarrow{PQ}$=（-$\frac{\sqrt{5}}{10}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
由于$\overrightarrow{FP}$=λ$\overrightarrow{PQ}$，
则λ=4．
故答案为：4．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．