Question

20．下列不等式正确的是（　　）

• A． sin1＜2sin$\frac{1}{2}＜3sin\frac{1}{3}$
• B． 3sin$\frac{1}{3}＜2sin\frac{1}{2}$＜sin1
• C． sin1＜3sin$\frac{1}{3}＜2sin\frac{1}{2}$
• D． 2sin$\frac{1}{2}＜sin1＜3sin\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 构造函数y=xsinx，利用导数判断函数的单调性，然后判断选项．

解答 解：设y=xsin$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），
则y′=sin$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$cos$\frac{1}{x}$，∵x∈[1，+∞），$\frac{1}{x}$∈（0，1]，
令t=$\frac{1}{x}$，则g（t）=sint-tcost，t∈（0，1]，
g′（t）=tsint，t∈（0，1]，
g′（t）＞0恒成立，所以函数g（t）=sint-tcost，t∈（0，1]，是增函数．g（t）=sint-tcost＞g（0）=0，
所以y′=sin$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x}$cos$\frac{1}{x}$，∵x∈[1，+∞），y′＞0恒成立，
y=xsin$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），是增函数．
所以sin1＜2sin$\frac{1}{2}＜3sin\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性的应用，构造法前解本题，是解题的关键．