题目内容

10.已知函数f(x)=ln(2ax+1)+$\frac{{x}^{3}}{3}$-x2-2ax(a∈R).
(1)若a=0,判断f(x)的单调性.
(2)若y=f(x)在[4,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(3)当a=-$\frac{1}{2}$时,方程f(1-x)=$\frac{(1-x)^{3}}{3}$+$\frac{b}{x}$有实根,求实数b的最大值.

分析 (1)求出a=0的f(x)解析式,求得导数,令导数大于0,的增区间,令导数小于0,的减区间;
(2)f(x)在区间为[4,+∞)上增函数,所以f′(x)=$\frac{x[2a{x}^{2}+(1-4a)x-(4{a}^{2}+2)]}{2ax+1}$≥0在[4,+∞)上恒成立,对a讨论,a=0和a>0,令g(x)=2ax2+(1-4a)x-(4a2+2),结合二次函数的对称轴和区间的关系,只要g(4)≥0即可,
求出并集即可;
(3)若a=-$\frac{1}{2}$时,f(1-x)=$\frac{(1-x)^{3}}{3}$+$\frac{b}{x}$可化为lnx-(1-x)2+(1-x)=$\frac{b}{x}$,问题转化为b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3在(0,+∞)上有解,即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域.运用导数求得单调区间,求得最值,即可得到b的最大值.

解答 解:(1)若a=0,则f(x)=$\frac{1}{3}$x3-x2
所以当a=0时,f′(x)=x(x-2),当f′(x)>0,得x>2或x<0,
当f′(x)<0时,得0<x<2;
所以f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2,+∞),减区间为(0,2).
(2)因为f(x)在区间为[4,+∞)上增函数,
所以f′(x)=$\frac{x[2a{x}^{2}+(1-4a)x-(4{a}^{2}+2)]}{2ax+1}$≥0在[4,+∞)上恒成立,
当a=0时,f′(x)=x(x-2)>0在[4,+∞)上恒成立,所以f(x)在[4,+∞)上为增函数,
故a=0符合题意.
当a≠0时,由函数f(x)的定义域可知,必须有2ax+1>0对x≥4恒成立,故只能a>0,
所以2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)≥0在[4,+∞)恒成立.
令g(x)=2ax2+(1-4a)x-(4a2+2),其对称轴为x=1-$\frac{1}{4a}$,
因为a>0所以1-$\frac{1}{4a}$<1,从而g(x)≥0在[4,+∞)上恒成立,只要g(4)≥0即可,
因为g(4)=-4a2+16a+2≥0,解得$\frac{4-3\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$,
因为a>0,所以.0<a≤$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$,
综上所述,a的取值范围为[0,$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$];
(3)若a=-$\frac{1}{2}$时,f(1-x)=$\frac{(1-x)^{3}}{3}$+$\frac{b}{x}$可化为lnx-(1-x)2+(1-x)=$\frac{b}{x}$,
问题转化为b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3在(0,+∞)上有解,
即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域.
因为g(x)=x(lnx+x-x2),令h(x)=lnx+x-x2
则h′(x)=$\frac{1}{x}$+1-2x=$\frac{(2x+1)(1-x)}{x}$,
所以当0<x<1时,h′(x)>0,从而h(x)在(0,1)上为增函数,
当x>1时,h′(x)<0,从而h(x)在(1,+∞)上为减函数,
因此h(x)≤h(1)=0.而x>0,故b=xh(x)≤0,
因此当x=1时,b取得最大值0.

点评 本题考查导数的运用:求单调区间,主要考查函数的单调性的运用,同时考查不等式恒成立思想的运用,运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想是解题的关键.

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