Question

11．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E、F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）求四面体NFEC体积的最大值，并求此时D点到平面CFN的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四边形MNEF、EFDC都是矩形，证得四边形MNCD是平行四边形，从而得到NC∥MD，再由线面平行的判定得答案；
（Ⅱ）设NE=x，则EC=4-x，其中0＜x＜4，写出四面体NFEC的体积为${V}_{NFEC}=\frac{1}{3}{S}_{△FEC}•NE=\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}•（4-x）•3）x$=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$，利用二次函数知识可得当x=2时，四面体的体积最大，设出D到平面CFN的距离为h，通过解直角三角形求得FN=FC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{13}$，NC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，得到S_△CFN，由V_N-DFC=V_D-NFC列式求得得$h=\frac{6}{\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}$．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
∵四边形MNEF、EFDC都是矩形，
∴MN∥EF∥CD，MN=EF=CD，
∴四边形MNCD是平行四边形，则NC∥MD，
∵NC?平面MFD，MD?平面MFD，
∴NC∥平面MFD；
（Ⅱ）解：设NE=x，则EC=4-x，其中0＜x＜4，由条件可知NE⊥平面FEC，
∴四面体NFEC的体积为${V}_{NFEC}=\frac{1}{3}{S}_{△FEC}•NE=\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}•（4-x）•3）x$=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$．
∴当x=2时，四面体的体积最大，且（V_N-FEC）_max=2．
由题意可知，四边形EFDC为矩形，∴S_△EFC=S_△DFC，故V_N-EFC=V_N-DFC，
设D到平面CFN的距离为h，在△CFN中，FN=FC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{13}$，NC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴${S}_{△CFN}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{22}$．
由${V}_{N-DFC}={V}_{D-NFC}=\frac{1}{3}{S}_{△CFN}•h=2$，得$h=\frac{6}{\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，关键是注意折叠问题折叠前后的变量和不变量，是中档题．