题目内容
(本小题满分14分)
如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=
.
(Ⅰ)求证:PD⊥面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.
如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形,PD⊥BC,PD=1,PC=

(Ⅰ)求证:PD⊥面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小.

(Ⅰ)略
(Ⅱ)二面角A-PB-D的大小为60°
(Ⅱ)二面角A-PB-D的大小为60°
(Ⅰ)证明:
,
.……2分
又
,……4分
∴ PD⊥面ABCD………6分
(Ⅱ)解:连结BD,设BD交AC于点O,
过O作OE⊥PB于点E,连结AE,
∵PD⊥面ABCD, ∴
,
又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.
∴AO⊥PB,
∵
,
∴
,从而
,
故
就是二面角A-PB-D的平面角.……………………10分
∵ PD⊥面ABCD, ∴PD⊥BD,
∴在Rt△PDB中,
,
又∵
, ∴
,………………12分
∴
.
故二面角A-PB-D的大小为60°. …………………14分
(也可用向量解)


又

∴ PD⊥面ABCD………6分
(Ⅱ)解:连结BD,设BD交AC于点O,
过O作OE⊥PB于点E,连结AE,
∵PD⊥面ABCD, ∴

又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB.
∴AO⊥PB,
∵

∴


故

∵ PD⊥面ABCD, ∴PD⊥BD,
∴在Rt△PDB中,

又∵




故二面角A-PB-D的大小为60°. …………………14分
(也可用向量解)

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