题目内容
（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面
平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在
的平分线上。
（1）求证：DE//平面ABC；
（2）求二面角E—BC—A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积。
在如图所示的空间几何体中，平面
平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上。（1）求证：DE//平面ABC；
（2）求二面角E—BC—A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积。
（1）略
（2）二面角E—BC—A的余弦值为
（3）多面体DE—ABC的体积为V=V1-V2=
（2）二面角E—BC—A的余弦值为
（3）多面体DE—ABC的体积为V=V1-V2=
解：方法一：（1）由题意知， 
都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则
平面ACD
平面ABC
平面ABC，作EF平面ABC，
那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，
，易求得
所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF；
平面ABC，
平面ABC，
平面ABC…………4分
（2）作FGBC，垂足为G，连接FG；
平面ABC，根据三垂线定理可知，EGBC
就是二面角E—BC—A的平面角
即二面角E—BC—A的余弦值为…………8分
（3）平面ACD平面ABC，OBAC
平面ACD；又
平面DAC，
三棱锥E—DAC的体积
又三棱锥E—ABC的体积
多面体DE—ABC的体积为V=V1-V2=…………12分
方法二：（1）同方法一
（2）建立如图所示的空间直角坐标系
，可求得平面ABC的一个法向量为
，
平面BCE的一个法向量为
，所以
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E—BC—A的余弦值为
（3）同方法一
都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则平面ACD平面ABC平面ABC，作EF平面ABC，那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，
，易求得所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF；
平面ABC，平面ABC，平面ABC…………4分（2）作FG
BC，垂足为G，连接FG；平面ABC，根据三垂线定理可知，EGBC就是二面角E—BC—A的平面角即二面角E—BC—A的余弦值为
…………8分（3）
平面ACD平面ABC，OBAC平面ACD；又平面DAC，三棱锥E—DAC的体积又三棱锥E—ABC的体积
多面体DE—ABC的体积为V=V1-V2=…………12分方法二：（1）同方法一
（2）建立如图所示的空间直角坐标系
，可求得平面ABC的一个法向量为，平面BCE的一个法向量为
，所以又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E—BC—A的余弦值为
（3）同方法一
练习册系列答案
相关题目
的正方体
中，
是
的中点，
在线段
上，且
．
与
所成角的余弦值；
面
；
到面
.
所有棱
长都是
，
是棱
的中点，
是棱
的中点，
交
于点
；
的大小（用反三角函数表示）；
到平面
的距离.
中，底面ABCD是正方形，侧棱
底面ABCD，
，E是PC的中点.
平面
；
、
为两个确定的相交平面，a、b为一对异面直线，下列条件中能使a、b所成的角为定值的有 （ ）
,则对角线长为( )
