Question

 (本题满分12分) 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形
（1）求证：；
（2）设线段的中点为，在直线 上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（3）求二面角正切值的大小。

Answer 1

（1）略
（2）略
（3）二面角正切值为

解：（Ⅰ）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF.
所以BC⊥EF. ……………………………………2分
因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45,
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE. …………………3分
因为BC平面ABCD, BE平面BCE,
BC∩BE=B
所以  …………………………4分（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC
∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.            ………6分   
∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,PM∥平面BCE ………8分         
（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,
作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.
∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角. …………………10分
∵  FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=,则
在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
,                                         
在Rt⊿FGH中, ,
∴ 二面角正切值为   ………………12分