题目内容

(本小题满分12分)
在如图所示的空间几何体中,△ABC,△ACD都是等边三角形,AE=CE,DE//平面ABC,平面ACD⊥平面ABC。
(1)求证:DE⊥平面ACD;
(2)若AB=BE=2,求多面体ABCDE的体积。
解:(1)法一:△ABC,△ACD都是等边三角形,
AE=CE,取AC中点O,连接BO,DO,EO,则
BO⊥AC,DO⊥AC,EO⊥AC ……………2分



ODEF是平面四边形 ………………4分

平面ACD  ………………6分
法二:△ABC,△ACD都是等边三角形,
AE=CE,取AC中点O,连接BO,DO,EO,则
BO⊥AC,DO⊥AC,EO⊥AC ……………2分
平面OBE
即OB,OD,OE平面OBED
平面ABC,DE//BO  ………………4分

∴DE⊥平面ACD  ………………6分
(2)由EF//DO,DE//OF,知DE=OF,EF=DO,
又AB=BE=2,△ABC,△ACD都是等边三角形,EF⊥BO
 ………………8分
平面ACD,

又三棱锥E—ABC的体积 ………………11分
∴多面体ABCDE的体积为 ………………12分
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