Question

12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，cos$\frac{π}{4}$•cosφ-sin$\frac{3π}{4}$•sinφ=0且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{3}$，函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．则最小正实数m的值为$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 利用特殊角的三角函数值化简cos$\frac{π}{4}$cosφ-sin$\frac{3π}{4}$sinφ=0，根据|φ|＜$\frac{π}{2}$直接求出φ的值，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{3}$，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式，函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．推出m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），可求最小正实数m．

解答 解：由cos$\frac{π}{4}$cosφ-sin$\frac{3π}{4}$sinφ=0，解得cos$\frac{π}{4}$cosφ-sin$\frac{π}{4}$sinφ=0，即cos（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，可得解析式：f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
∵依题意，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$，又T=$\frac{2π}{ω}$，故解得：ω=3，
∴f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），
∵函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g（x）=sin[3（x+m）+$\frac{π}{4}$]，
∴g（x）是偶函数当且仅当3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），即m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
从而解得，最小正实数m=$\frac{π}{12}$．
故答案为：$\frac{π}{12}$．

点评 本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的图象的平移，偶函数的性质，转化思想的应用，考查计算能力，是常考题．