Question

2．正项数列{a_n}中，S_n为其前n项和，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$）
（1）求a₁和a₂的值；    
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：$\frac{1}{{2{S_1}}}+\frac{1}{{3{S_2}}}+…+\frac{1}{{（{n+1}）{S_n}}}$＜2（1-$\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$），（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）通过在表达式S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$）中令n=1、2计算即得结论；
（2）通过求出数列{a_n}的前几项，利用数学归纳法证明即可；
（3）利用基本不等式，通过数学归纳法证明即可．

解答 （1）解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{a_n}$），
∴a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），
解得：a₁=1或a₁=-1（舍），
∴a₁+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），
即1+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1或a₂=-$\sqrt{2}$-1（舍），
综上，a₁=1、a₂=$\sqrt{2}$-1；    
（2）数列{a_n}的通项a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时成立，a_k=$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$，
则a_k+1=S_k+1-S_k
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$[$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$+（$\sqrt{k}$+$\sqrt{k-1}$）]
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\sqrt{k}$，
∴${{a}_{k+1}}^{2}$+2$\sqrt{k}$•a_k+1-1=0，
解得：a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$或a_k+1=-$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$（舍），
∴a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，即当n=k+1时命题也成立；
由①、②可知：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
（3）证明：∵a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，
∴S_n=$\sqrt{n}$，
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然$\frac{1}{2{S}_{1}}$=$\frac{1}{2}$＜2（1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$）=2-$\sqrt{2}$成立；
②假设当n=k时，有$\frac{1}{2{S}_{1}}$+$\frac{1}{3{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{（k+1）{S}_{k}}$＜2（1-$\frac{1}{{S}_{k+1}}$）成立，
两边同时加上$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$，得：$\frac{1}{2{S}_{1}}$+$\frac{1}{3{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{（k+1）{S}_{k}}$+$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$＜2（1-$\frac{1}{{S}_{k+1}}$）+$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$，
∵2（1-$\frac{1}{{S}_{k+1}}$）+$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$=2（1-$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$）+$\frac{1}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$
=2-[$\frac{2}{\sqrt{k+1}}$-$\frac{1}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$]
=2-$\frac{2k+3}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$
=2-$\frac{（k+2）+（k+1）}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$，
又∵$\frac{（k+2）+（k+1）}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$+$\frac{\sqrt{k+1}}{k+2}$
≥2•$\sqrt{\frac{1}{\sqrt{k+1}}•\frac{\sqrt{k+1}}{k+2}}$=2•$\frac{1}{\sqrt{k+2}}$，
当且仅当$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k+1}}{k+2}$时取等号，
而$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$≠$\frac{\sqrt{k+1}}{k+2}$，
故$\frac{（k+2）+（k+1）}{（k+2）•\sqrt{k+1}}$＞2•$\frac{1}{\sqrt{k+2}}$，
∴2（1-$\frac{1}{{S}_{k+1}}$）+$\frac{1}{（k+2）{S}_{k+1}}$＜2-2•$\frac{1}{\sqrt{k+2}}$=2（1-$\frac{1}{\sqrt{k+2}}$）=2（1-$\frac{1}{{S}_{k+2}}$），
即当n=k+1时，命题也成立；
由①、②可知：$\frac{1}{{2{S_1}}}+\frac{1}{{3{S_2}}}+…+\frac{1}{{（{n+1}）{S_n}}}$＜2（1-$\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$），（n∈N^*）．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．