Question

17．关于x的方程x²+（a+2b）x+3a+b+1=0的两个实根分别在区间（-1，0）和（0，1）上，则a+b的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{5}$）
• B． （-$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$）
• C． （-$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{5}$）
• D． （-$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5}$）

Answer 1

分析 令f（x）=x²+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=3a+b+1＜0…①}\\{f（1）=4a+3b+2＞0…②}\\{f（-1）=2a-b+2＞0…③}\end{array}\right.$．画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，利用简单的线性规划求得z的范围．

解答 解：令f（x）=x²+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=3a+b+1＜0…①}\\{f（1）=4a+3b+2＞0…②}\\{f（-1）=2a-b+2＞0…③}\end{array}\right.$．
画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，如图所示：
由$\left\{\begin{array}{l}{3a+b+1=0}\\{2a-b+2=0}\end{array}\right.$求得点A（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{3a+b+1=0}\\{4a+3b+2=0}\end{array}\right.$，求得点C（-$\frac{1}{5}$，-$\frac{2}{5}$）．
当直线z=a+b经过点A时，z=a+b=$\frac{1}{5}$；当直线z=a+b经过点C时，z=a+b=-$\frac{3}{5}$，
故z=a+b的范围为（-$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{5}$），
故选：A．

点评 本题主要考查二次函数的性质，简单的线性规划，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．