题目内容
4．
从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为甲：7.7，7.8，8.6，8.7，9.3，9.5
乙：7.6，8.2，8.5，8.6，9.2，9.5
（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论；
（2）从甲、乙运动员6次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率．
（3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7，10]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率．
分析 （1）根据茎叶图，我们结合甲乙两名运动员的成绩，我们可以求出两个人的平均成绩，从而比较出两个人的平均水平；也可计算出两个人的方差（或标准差），从而比较出两个人发挥的稳定性；
（2）设甲乙成绩至少有一个高于8.5分为事件A，我们先计算出从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩的所有抽取方法总数，和满足甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的抽取方法，代入古典概型公式即可求出答案．
（3）根据已知中甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，我们可以求出它所表示的平面区域的面积，再求出甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分对应的平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案．
解答 解（1）由样本数据可得：
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{6}$（7.7+7.8+8.6+8.7+9.3+9.5）=8.6，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{6}$（7.6+8.2+8.5+8.6+9.2+9.5）=8.6，可知甲乙运动员平均水平相同．
${s}_{甲}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（7.7-8.6）2+（7.8-8.6）2+（8.6．-8.6）2+（8.7-8.6）2+（9.3-8.6）2+（9.5-8.6）2]=0.46，
${s}_{乙}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（7.6-8.6）2+（8.2-8.6）2+（8.5-8.6）2+（8.6-8.6）2+（9.2-8.6）2+（9.5-8.6）2]=0.39，
可知乙运动员的方差小，则乙运动员发挥较甲运动员发挥稳定．
（2）设甲乙运动员成绩至少有一个高于8为事件A
则P（A）=1-$\frac{2}{6}×\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$．
（3）设甲运动员的成绩为y，y∈[7，10]，
乙运动员的成绩为x，x∈[7.5，9.5]且|x-y|＜0.5，
设甲乙运动员成绩之差小于0.5分为事件B，
则$\left\{{\begin{array}{l}{7.5≤x≤9.5}\\{7≤y≤10}\\{|{x-y}|≤0.5}\end{array}}\right.$
则事件B包含的区域为阴影区域，则P（B）=1-$\frac{2+2}{3×2}$=$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，几何概型及其概率计算公式，茎叶图，是统计和概率知识的综合考查，熟练掌握古典概型及几何概型求解概率的方法和步骤是解答本题的关键．
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