Question

17．若f（x）=$\frac{1}{x+2}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$，则不等式f[x（x-$\frac{1}{2}$）]＜$\frac{1}{2}$的解集为（-1，0）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 先由函数f（x）的解析式求出定义域，再根据f（x）在其定义域上单调递减且f（0）=$\frac{1}{2}$，可得x（x-$\frac{1}{2}$）＞0，由此求得x的范围，再和定义域取交集，即为所求．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{x+2}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+2≠0}\\{（1-x）（1+x）＞0}\end{array}\right.$，求得-1＜x＜1，
故函数f（x）的定义域为（-1，1），且函数f（x）在其定义域上单调递减．
由于f（0）=$\frac{1}{2}$，则由不等式f[x（x-$\frac{1}{2}$）]＜$\frac{1}{2}$，可得x（x-$\frac{1}{2}$）＞0，
求得x＞$\frac{1}{2}$，或x＜0．
再结合函数f（x）的定义域为（-1，1），可得x的范围为（-1，0）∪（$\frac{1}{2}$，1），
故答案为：（-1，0）∪（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，得到f（x）在其定义域上单调递减且f（0）=$\frac{1}{2}$，是解题的关键，属于中档题．